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奈氏准则和香农定理

奈氏准则

奈奎斯特(Nyquist)定理又称奈氏准则,它指出在理想低通(没有噪声、带宽有限)的信道中,极限码元传输率为2W波特,其中W是理想低通信道的带宽,单位为Hz。若用V表示每个码元离散电平的数目(码元的离散电平数目是指有多少种不同的码元,比如有16种不同的码元,则需要4位二进制位,因此数据传输率是码元传输率的4倍),则极限数据率为

1
理想低通信道下的极限数据传输率=2Wlog2V (单位为b/s)

对于奈氏准则,可以得出以下结论:

  1. 在任何信道中,码元传输的速率是有上限的。若传输速率超过此上限,就会出现严重的码间串扰问题(指在接收端收到的信号波形失去了码元之间的清晰界限), 使得接收端不 可能完全正确识别码元。
  2. 信道的频带越宽(即通过的信号高频分量越多),就可用更高的速率进行码元的有效传输。
  3. 奈氏准则给出了码元传输速率的限制,但并未对信息传输速率给出限制,即未对一个码元可以对应多少个二进制位给出限制。

由于码元的传输速率受奈氏准则的制约,所以要提高数据的传输速率,就必须设法使每个码元携带更多个比特的信息量,此时就需要采用多元制的调制方法。

香农定理

香农(Shannon)定理给出了带宽受限且有高斯白噪声干扰的信道的极限数据传输率,当用此速率进行传输时,可以做到不产生误差。香衣定理定义为

1
信道的极限数据传输率=W * log2 (l + S/N) (单位为b/s)

式中,W 为信道的带宽,S 为信道所传输信号的平均功率,N 为信道内部的高斯噪声功率。S/N 为信噪比,即信号的平均功率与噪声的平均功率之比,信噪比=10log10(S/N)(单位为dB),例如如当S/N=IO 时,信噪比为lOdB, 而当S/N=1000 时, 信噪比为30dB。

对千香农定理,可以得出以下结论:

  1. 信道的带宽或信道中的信噪比越大,信息的极限传输速率越高。
  2. 对一定的传输带宽和一定的信噪比,信息传输速率的上限是确定的。
  3. 只要信息的传输速率低于信道的极限传输速率,就能找到某种方法来实现无差错的传输。
  4. 香农定理得出的是极限信息传输速率,实际信道能达到的传输速率要比它低不少。

从香农定理可以看出, 若信道带宽W或信噪比S/N没有上限(实际信道当然不可能这样),则信道的极限信息传输速率也没有上限。
奈氏准则只考虑了带宽与极限码元传输速率的关系,而香农定理不仅考虑到了带宽,也考虑到了信噪比。这从另一个侧面表明,一个码元对应的二进制位数是有限的。

注:信噪比为 S/N, 为什么还要取对数 l0log10(S/N)?

  1. 数字形式表示,即一般数值。如噪声功率为1, 信号功率为100, 信噪比为100/1 = 100
  2. 以分贝形式表示,同样还是上面这些数字,以分贝形式表示的信噪比为1Olog1o(S/N) = 10 * log10 100 = 20 dB

两者的区别在于,前者(数值)是没有单位的,后者必须加 dB, 代表分贝。两者数值上等价。采用分贝表示的原因是:很多时候,信号要比噪声强得多,比如信号比噪声强 10 亿倍,如果用数值表示的话,那么l后面有9个0, 很容易丢失一个0。如果用分贝表示,那么仅为90dB, 因此要简单得多,而且不容易出错。分贝对千表示特别大或特别小的数值极为有利,这种表示方式在电子通信领域用途很广。

奈氏准则和香农定理的主要区别是什么?这两个定理对数据通信的意义是什么?

奈氏准则指出,码元传输的速率是受限的,不能任意提高,否则在接收端就无法正确判定码元所携带的比特是1还是0 (因为存在码元之间的相互干扰)。

奈氏准则是在理想条件下推导出来的。在实际条件下, 最高码元传输速率要比理想条件下得出的数值小很多。 电信技术人员的任务就是要在实际条件下,寻找出较好的传输码元波形,将比特转换为较为合适的传输信号。

需要注意的是,奈氏准则并未限制信息传输速率(b/s)。要提高信息传输速率,就必须使每个传输的码元能够代表许多比特的信息, 这就需要有很好的编码技术。 但码元所载的比特数确定 后,信道的极限数据率也就确定了。

香农定理给出了信息传输速率的极限, 即对于一定的传输带宽(以赫兹为单位) 和一定的信噪比,信息传输速率的上限就确定了,这个极限是不能突破的。要想提高信息的传输速率,要么必须设法提高传输线路的带宽, 要么必须设法提高所传信号的信噪比,此外没有其他任何办法。

香农定理告诉我们, 若要得到无限大的信息传输速率, 只有两个办法: 要么使用无限大的传输带宽(这显然不可能), 要么使信号的信噪比无限大, 即采用没有噪声的传输信道或使用无限 大的发送功率(当然这些也都不可能)。 注意, 奈氏准则和香农定理中 “带宽”的单位都是 Hz。


专题:

本文发表于 2020-11-13,最后修改于 2020-11-14。

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